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1922年。
巴拿赫笑说：“若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。”
乌拉姆说：“还真是，也等价于你拿出地图，你此刻所在位置必在地图上的一点。”
巴拿赫说：“我们用严谨的泛函分析来表达这个压缩映射定理。”
乌拉姆说：“这是度量空间理论的一个重要工具。”
巴拿赫说：“这可以保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。”