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得知牛顿科特斯公式出来之后。
辛普森说：“既然出现了一个简单的求积分的方法。那就需要求一些相对复杂的。”
相对于那些矩形这些简单而言，较为复杂一些的是抛物线包围。
这就是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。
利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6。
可以应用在立体几何中用来求拟柱体体积的公式。
所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体。它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高。
设拟柱体的高为H，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与平面α之间距离h的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V为
V=H/6.
式中，S_1和S_2是两底面的面积，S_0是中截面的面积。
事实上，不光是拟柱体，其他符合条件的立体图形也可以利用该公式求体积。
之后辛普森在思考更高维度的情况，也就是更高维度的拟柱体这样的东西。