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在研究向量的时候，赫尔德发现，N维空间中，两个向量的夹角的余弦值对不不超过1。
听起来倒不觉得的有什么特别，但是他继续思考，这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。
Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的lp空间是由p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了Banach空间一类重要的例子。
巴拿赫空间是一个完备赋范向量空间。更精确地说，巴拿赫空间是一个具有范数并对此范数完备的向量空间。
巴拿赫空间跟欧几里得空间，有很多区别。
赫尔德不等式是柯西不等式的推广！当其中的量为2时，就是柯西不等式。
而不等式，往往就是求解最大值或者最小值的问题的。